Zadanie Banacha
Matematyk ma dwa pudełka zapałek, w każdym po N zapałek. Za każdym razem, gdy chce zapalić fajkę najpierw losuje jedno z pudełek i wyciąga z niego zapałkę. Musi nadejść chwila, gdy jedno z pudełek będzie puste. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wtedy w drugim pudełku będzie dokładnie K zapałek?
Moment opróżnienia jednego pudełka (przyjmijmy, że lewego) do zera można zapisać jako ciąg o długości n=2N-K symbolicznie zapisanych zdarzeń: L - wylosowano z lewego pudełka, P - z prawego. Na przykład: LLPLPL oznacza, że wylosowano cztery razy z lewego pudełka, pozostawiając w prawym dwie zapałki (przypadek N=4, K=2)
Prawdopodobieństwo pozostania K zapałek w pudełku jest równe stosunkowi ilości ciągów w których zdarzenie P wystąpiło k=N-K razy do ilości wszystkich ciągów danej długości. Ponieważ nie ineteresują nas ciągi kończące się zdarzeniem P skracamy długość ciągu do n'=n-1 (opróżnienie lewego pudełka kończy zawsze zdarzenie L).
Teraz będzie już prosto ;) Zwykła kombinacja bez powtórzeń k elementów ze zbioru n' elementowego dzielona przez permutację zbioru n'.
P(K)=(n' po k)/(2 do n')=(2N-K-1 po N-K)/(2 do 2N-K-1)
Przykładowo dla N=1
n=2N-K=2*1-1=1
n'=n-1=1-1=0
k=N-K=1-1=0
P(1)=(0 po 0)(2 do 0)=(0!/(0!*0!))*2^0=(1/(1*1))*1=1
( 0!=1 )
Przykładowo dla N=2
P(1)=(2 po 1)/(2 do 2)=4/8
P(2)=(1 po 0)/(2 do 1)=4/8
Przykładowo dla N=3
P(1)=(4 po 2)/(2 do 4)=3/8
P(2)=(3 po 1)/(2 do 3)=3/8
P(3)=(2 po 0)/(2 do 2)=2/8
Przykładowo dla N=4
P(1)=(6 po 3)/(2 do 6)=5/16
P(2)=(5 po 2)/(2 do 5)=5/16
P(3)=(4 po 1)/(2 do 4)=4/16
P(4)=(3 po 0)/(2 do 3)=2/16
itd...widać, że prawdopodobieństwo, że w drugim pudełku pozostanie dużo zapałek jest mniejsze od tego, że zostanie jedna i maleje wraz z ich ilością.
Nic dodać nic ująć! Panowie czapki z głów i brawa!
dorzucę jeszcze obrazek z rózwnaniem
Rozwiązania odrzucone przez administratora
prawdopodobieństwo równa się X
P(K) należy <1/N;1/2N>
hmmm..., wydaje mi się, że możliwe jest podanie dokładniejszego wyniku dla danych K i N
-ilość zapałek 2N (po N na pudełko)
-każde sięgnięcie po zapałkę to 1/2 szans trafienia na to samo pudełko
- ilość "sięgnięć" po zapałki, przy założeniu, że: "Musi nadejść chwila, gdy jedno z pudełek będzie puste" mieścić będzie się w przedziale od N (co stanowi najmnijeszą konieczną ilość sięgnięć, w założeniu trafiania cały czas do tego samego pudełka, by jedno pudełko pozostało puste, a w drugim pozostało K zapałek) do 2N-1 (co stanowi maksymalną liczbę sięgnięć, ponieważ choć w jednym pudełku musi zostać co najmniej jedna zapałka)
sytuacje:
1) matematyk sięgnął 2N -1 razy (co oznacza, ze siegał tu i tu) i wtedy mamy 100% prawdopodobieństwa, że w pudełku mamy K=1 zapałek.
W ogóle, spełnienie warunku, cyt:
"Musi nadejść chwila, gdy jedno z pudełek będzie puste"
zakłada, że w drugim musi zostać co najmniej 1 zapałka - i na to więc mamy
100 % prawdopodobieństwa.
2) prawdopodobieństwo na inne sytuacje , tj. w pudełku zostaje K zapałek,
gdzie K należy do przedziału od 2 do N - mamy 50%
wydaje się to dziwne, ale dzieje się tak, ponieważ w matematyce mamy cały czas takie samo prawdopodobieństwo (zaznaczam, ze chodzi o tą sytuację), bowiem każde sięgnięcie, to 50% szans trafienia na pierwsze lub drugie pudełko.
zmniejszająca się liczba zapałek w danym pudełku, a co za tym idzie zwiększająca się liczba sięgnięć, nie zmienia prawdopodobieństwa.
(praktyka życia mówi co innego, bo nie dalibyśmy w potocznym rozumieniu pojęcia prawdopodobieństwo 50% szans na pozostanie wszystkich zapałek w danym pudełku oraz tyleż samo - 50% na pozostanie np. 2 sztuk)
To proste.jeżeli w pierwszym pudełku jest 0 zapałek to w drugim musi być x zapałek
gdzie x jest większe od zero a mniejsze bądż równe N.Czyli mamy N możliwości
Zatem prawdopodobieństwo że będzie to K zapałek wynosi K/n.
- ukryj inne rozwiązania
- dodaj nowe rozwiązanie
- Mózgowiec - Łamigłówki i zagadki logiczne